命題５
平面数は、互いにそれらの辺の比の積の比をもつ。
AとBを平面数とし、CとDをAの辺、EとFをBの辺とせよ。
AはBに対して、辺の比の積の比をもつと主張する。
CはEに対して、DはFに対する比が与えられ、連続してC、E、D、Fの比となる最小の数G、H、Kをとり、つまり、CはEに対して、GはHに対し、また、DはFに対して、HはKに対する。propositionⅧ．４
DをEにかけてLを作るとせよ。
今、DにCをかけてAを作り、EをかけてLを作るので、それゆえに、CはEに対して、AはLに対する。propositionⅦ．１７
しかし、CはEに対して、GはHに対し、それゆえに、GはHに対して、AはLに対する。
再び、EにDをかけてLを作り、さらに、FをかけてBを作るので、それゆえに、DはFに対して、LはBに対する。
しかし、DはFに対して、HはKに対し、それゆえに、HはKに対して、LはBに対する。propositionⅦ．１７
しかし、GはHに対して、AはLに対することは証明されている。
それゆえに、等間隔比により、GはKに対して、AはBに対する。propositionⅦ．１４
しかし、GはKに対して、辺の比の積の比をもつ。
それゆえに、AもまたBに対して、辺の比の積の比をもつ。
それゆえに、平面数は、互いにそれらの辺の比の積の比をもつ。
証明終了